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2010年6月14日月曜日

Riemann ZEta

今日でやっと、大体三章まで終わった。大分遅いペースで、個人的にはもっと急きたい所だ。


たまには数学のことも書こう。
扠、Riemannの素数公式の導き方を真似れば、2と3の冪から成る数列の分布に関して
[res=200]{ \[ f(s)=\frac 1{\left(1-\frac 1{2^s}\right)\left(1-\frac 1{3^s}\right)}=\sum_{m,n\geq 0} \frac1{(2^m3^n)^s} \]  }
とした時、x以下の2m3n型の数の個数をA(x)とおけば(6/17追記)
[res=200]{ \[ A(x)^\ast =\frac 1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{f(s)}s x^s ds \]  }
となるが、s=0の留数を計算すれば、容易に
[res=200]{ \[ A(x)\sim\frac12\frac{\log 2x\log 3x}{\log2\log3} \]  }
が得られる。その主要項はGaussが発見していたし、この公式もRamanujanのHardyへの最初の手紙に現れている。

ところで、2の冪と3の冪にかんしては、(3/2)^nの一様分布や、Waring problemのg(n)(G(n)だったっけ?)の予想値等、いろんな面白い問題があると思われるが、上の解析的公式の詳しい解析からは有用なことは導かれないのだろうか。或は従来でも上のようなDirichlet級数が用いられていたのだろうか??被積分函数はζよりは簡単そうにみえるが、Bernoulli数の母函数みたいなのが現れているからそう単純でもないのかな。。

以上のことは中途半端ながら、
のRiemann zeta.pdfのappendix Bに纏めてあります。Fibonacci zetaに関しても、Shimomura-Shiokawa-Elsnerの論文と関連して少し書く予定です。

リーマンのζ函数勉強会


ところで、Windows live の Sky Drive のupload方式がやっとdrag&dropになったようだ;

2010年5月29日土曜日

佐野セミナー


佐野氏主催のセミナーを見学してきました。
三方が床から天井までの白板に囲まれた部屋で、壁に孜々と数学を刻んでいく姿は「圧巻」です。カッコいい!26日時点で第一章の最後のセクション1.5 Finite Etale Algebraをやっていました。

場所時間の詳細はhttp://www7.atwiki.jp/keio_math/pages/51.html

発表も丁寧に準備されていて、証明もきちんと検証し、その定理や定義の意味についても三人で詳しく時間をかけて討論する姿など、非常に良い雰囲気で、「学問!」という時間でした。

興味有る方の為に目次だけ載せときます。
  1. Galois Theory of Fields
  2. Fundamental Groups in Topology
  3. Riemann Surfaces
  4. Fundamental Groups of Algebraic Curves
  5. Fundamental Groups of Schemes
  6. Tannakian Fundamental Groups
より詳しい目次は
http://www.math-inst.hu/~szamuely/fgtoc.pdf



然し、このガロア群と基本群の類似などのAdvanced Topics(ぢゃないのかな?)も既に坂内先生の授業で触れられたことが有ると聴いた(多分)。本の数年でかくも講義の質(というか啓発性)にdivideが有らうとは焉!

2010年5月25日火曜日

ゼータ函数勉強会

出席者は常の三人で発表者はI上君とS木さん

テキストの二章が終わり、三章の内容を少し違った方法で取り扱った。
Poissonの和公式の証明と、ζ函数の函数等式のtheta函数を用いた証明。N村から聴けばDedekindζとかの一般化のやつでも通用するアイディアだとか。。Davenportのmultiplicative number theory(5/26追記;TitchmarshのThe theory of the Riemann zeta functionの誤りでした。R一さん謝謝)には七個くらい証明がのってるらしい。

又、Chebyshevのθやψの由来や、初等的評価などを時間をかけてやった。Korevaar-Newmanの方法にそったPNTの証明を与える予定だが、最後までいかず、ある積分の収斂を認めれば、PNT(ψ(x)~x)が従うことまでを証明して終わり。正味三時間程。

詳しくはkeio_math@wikiのページを。



所で、又も先輩からはいいアドバイスを頂いた
僕が、前置きに大分時間を取られてしまっていよいよPNTの証明に取り掛かろうかという時である。僕は当然長い証明を要する、ある解析な事実の証明の方に重点を置いていたのだが、先輩は

「先にそれからPNTが出ることを示してくれ、「そっちの方の証明は僕はあまり惹かれない「そっからPNTが出ることの方が珍しい議論っぽいから聞かせてくれ
とこういったことをいわれたのである。そのココロは?
「こういう大定理は知って、使い方にきづくことの方が大事だ。「大定理は知ってないとどうしようもない「こういう大定理を幾つか知っといて、それらを組み合わせて”小さな計算”で論文を書くのがベストだ。

というわけなのである。聞き間違いの可能性もあり、飽くまで僕の個人的な解釈もまぢっていることであろうから悪しからず。。。