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2010年6月14日月曜日

Ｒｉｅｍａｎｎ　ＺＥｔａ

今日でやっと、大体三章まで終わった。大分遅いペースで、個人的にはもっと急きたい所だ。


たまには数学のことも書こう。
扠、Riemannの素数公式の導き方を真似れば、2と3の冪から成る数列の分布に関して
[res=200]{ \[ f(s)=\frac 1{\left(1-\frac 1{2^s}\right)\left(1-\frac 1{3^s}\right)}=\sum_{m,n\geq 0} \frac1{(2^m3^n)^s} \] }
とした時、x以下の2m3n型の数の個数をA(x)とおけば（6/17追記）
[res=200]{ \[ A(x)^\ast =\frac 1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{f(s)}s x^s ds \] }
となるが、s=0の留数を計算すれば、容易に
[res=200]{ \[ A(x)\sim\frac12\frac{\log 2x\log 3x}{\log2\log3} \] }
が得られる。その主要項はGaussが発見していたし、この公式もRamanujanのHardyへの最初の手紙に現れている。

ところで、2の冪と3の冪にかんしては、(3/2)^nの一様分布や、Waring problemのg(n)（G(n)だったっけ？）の予想値等、いろんな面白い問題があると思われるが、上の解析的公式の詳しい解析からは有用なことは導かれないのだろうか。或は従来でも上のようなDirichlet級数が用いられていたのだろうか？？被積分函数はζよりは簡単そうにみえるが、Bernoulli数の母函数みたいなのが現れているからそう単純でもないのかな。。

以上のことは中途半端ながら、
のRiemann zeta.pdfのappendix Bに纏めてあります。Fibonacci zetaに関しても、Shimomura-Shiokawa-Elsnerの論文と関連して少し書く予定です。

リーマンのζ函数勉強会


ところで、Windows live の Sky Drive のupload方式がやっとdrag&dropになったようだ；
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